por Nell » Mié Abr 11, 2012 11:31 pm
Intentaré explicártelo lo mejor posible, porque a mí las matemáticas no es que se me den muy bien, pero tuve un profesor muy bueno que me enseñó a derivar como una posesa, hace ya algún tiempo.
Bien, los datos del problema, básicamente, te indican que el perímetro del rectángulo es 20 metros. La fórmula para hallar ese perímetro es la suma de todos sus lados, o en ecuación, [2xH + 2xB = 20]. Se despeja una de las incógnitas, cualquiera, el resultado no variará. Por ejemplo, H. La ecuación queda [H = (20 - 2xB) / 2], simplificando (dividiendo entre 2), [H = 10 - B].
En el problema, directamente ya te han dado la fórmula para calcular el Área, BxH. Se sustituye en ella la incógnita que hemos despejado, de tal manera que quedaría [Área = B x (10 - B)], se resuelve, quedando [Área = 10xB - B^2].
Ahora, derivamos [Área' = 10 - 2xB]. Y, por último, resolvemos [B = 5]. Volvemos a la ecuación despejada de H, y sustituimos B, dando [H = 10 - 5], por tanto, [H = 5]. En este caso, es un cuadrado, no es un rectángulo (es por eso, por el extraño resultado, que te recomendaría que no te fiases de mí, ya que puedo haber cometido algún fallo).
Si te encuentras con otro problema similar, puedes comprobar que el Área es máxima o mínima (aunque te los suelen poner para que simplemente sigas los pasos), con el mismo sistema que se usa para representar funciones, que no sé si conocerás. Se toma el resultado que te ha dado y se dibuja un eje:
__(4)__ 5 __(6)__
Luego, se sustituye un número cualquiera en la ecuación con la que has obtenido dicho resultado [10 - 2xB], de uno de los dos lados (es decir, mayor o menor), y luego del otro. En este caso, el 4 y el 6. Al sustituir el 4, obtienes [10 - 8 = 2], número [+]. Al sustituir el 6, obtienes [10 - 12 = -2], un número [-]. Por tanto, es un máximo. Sería un mínimo si fuese al contrario, el número menor [-] y el número mayor [+]. Y si te da todo con el mismo signo, entonces te has equivocado en algo.
Espero haberte resuelto la duda. De todas formas, todos los ejercicios de este estilo tienen el mismo procedimiento, es cuestión de practicar.
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